Localment

En topologia l'expressió localment s'utilitza per a referir-se a una propietat que s'aplica a cada punt, en una regió prou propera.^[1]

Més precisament, si X és un espai topològic, aleshores aquest espai té una certa propietat localment quan, per a cada punt $p\in X\,$ i cada veïnat obert U de $p$ , $p\in X\,$ existeix un veïnat subconjunt V^[a] de $p$ , $p\in V\subseteq U\,$ , en què es compleix aquesta propietat.^[1]

Exemples

Un espai està connectat localment per arcs en un punt x quan cada veïnat U de x conté un veïnat V tal que, per a cada parell de punts de V, hi ha un arc contingut a V^[b] enllaçant aquests dos punts. Un espai està connectat localment per arcs si està connectat localment per arcs en tots els seus punts.^[2]

Un espai T1 és localment compacte quan cada punt p té un veïnat V el tancament del qual és compacte.^[3]

Un sistema de coordenades^[c] és cartesià quan ds² ^[d], es representa mitjançant una forma amb coeficients constants. No sempre és possible trobar aquestes coordenades, per exemple, per a cada punt p és possible trobar un sistema de coordenades que es comporti d'aquesta manera en un veïnat de p. Aquest sistema s'anomena localment cartesià o localment geodèsic.^[4]

Notes

↑ En el text de Gamelin i Greene, el veïnat V ha de ser obert, però aquesta restricció no és generalment necessària.
↑ El text d'Otz Lef conté l'arc que conté U; no és incorrecte però no és la millor manera de presentar la propietat.
↑ Definit en una varietat de Riemann.
↑ ds² és la fórmula que representa la distància entre dos punts propers, per exemple, en la superfície d'una esfera, utilitzant coordenades esfèriques, $ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}sin^{2}\theta d\phi ^{2}\,$ .

Referències

1 2 Gamelin, Theodore W.; Greene, Robert Everist. Introduction to Topology: Second Edition (en anglès). Courier Corporation, 2013-04-22, p. 83. ISBN 978-0-486-32018-2.
↑ Lefschetz, Solomon. Topics in Topology (en anglès). Princeton University Press, 1943-01-20, p. 76. ISBN 978-0-691-09573-8.
↑ Birkhoff, Garrett. Lattice Theory (en anglès). American Mathematical Soc., 1940-12-31, p. 223. ISBN 978-0-8218-1025-5.
↑ Levi-Civita, Tullio. «Chapter VI, Covariant differentiation; invariants and differential parameters; locally geodesic co-ordinates, 11. Locally geodesic (or locally Cartesian) co-ordinates». A: The Absolute Differential Calculus (calculus of Tensors) (en anglès). Courier Corporation, 1977, p. 164. ISBN 978-0-486-63401-2.

[2] En el text de Gamelin i Greene, el veïnat V ha de ser obert, però aquesta restricció no és generalment necessària.

[3] El text d'Otz Lef conté l'arc que conté U; no és incorrecte però no és la millor manera de presentar la propietat.

[6] Definit en una varietat de Riemann.

[7] ds² és la fórmula que representa la distància entre dos punts propers, per exemple, en la superfície d'una esfera, utilitzant coordenades esfèriques, $ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}sin^{2}\theta d\phi ^{2}\,$ .

[gamelin.greene.p83-1] 1 2 Gamelin, Theodore W.; Greene, Robert Everist. Introduction to Topology: Second Edition (en anglès). Courier Corporation, 2013-04-22, p. 83. ISBN 978-0-486-32018-2.

[4] Lefschetz, Solomon. Topics in Topology (en anglès). Princeton University Press, 1943-01-20, p. 76. ISBN 978-0-691-09573-8.

[birkhoff.p.223-5] Birkhoff, Garrett. Lattice Theory (en anglès). American Mathematical Soc., 1940-12-31, p. 223. ISBN 978-0-8218-1025-5.

[levi-civita.p.164-8] Levi-Civita, Tullio. «Chapter VI, Covariant differentiation; invariants and differential parameters; locally geodesic co-ordinates, 11. Locally geodesic (or locally Cartesian) co-ordinates». A: The Absolute Differential Calculus (calculus of Tensors) (en anglès). Courier Corporation, 1977, p. 164. ISBN 978-0-486-63401-2.

[1]